证明：对于任意实数X，Y 有X^4+Y^4≥1/2 XY(X+Y)^2

当x,y至少有1个为0时,不等式右边=0,左边≥0
不等式成立
当x,y均不为0时,
xy(x+y)^2/2
=xy(x^2+2xy+y^2)/2
=(x^3y+2x^2y^2+xy^3)/2
≤(x^3y+x^4+y^4+xy^3)/2
现在只要证明x^3y+xy^3≤x^4+y^4就可以了.
x^3y+xy^3-x^4-y^4
=x^3(y-x)-y^3(y-x)
=-(y^3-x^3)(y-x)
=-(y-x)^2(y^2+xy+x^2)
由于(y-x)^2≥0
y^2+xy+x^2=(x+y/2)^2+3y^2/4≥0
因此x^3y+xy^3-x^4-y^4≤0
x^3y+xy^3≤x^4+y^4

(x^3y+x^4+y^4+xy^3)/2≤x^4+y^4

不等式成立.

综上,有x^4+y^4≥1/2 xy(x+y)^2